若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆）且面积为S,各边长分别为a、b、c、d,试推导四边形的内切圆半

Question

若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆）且面积为S,各边长分别为a、b、c、d,试推导四边形的内切圆半

Answer 1

解；设任意四边形ABCD的内切圆O半径为r,切点分别为E,F,G,H.面积为S,各边长分别为a、b、c、d.
因为圆O与AB,BC,BD,DE相切.所以∠OEA=∠OFA=90°
OE=OF=R
在RT△AEO和RT△AFO中
AO=AO
OE=OF
∴RT△AEO≌RT△AFO
同理：RT△DEO≌RT△DHO
RT△BFO≌RT△BGO
RT△CGO≌RT△CHO
∴S=S（AEFO）+S(EDHO)+S( FBGO)+S( HCGO)=2（S△AFO+ S△DHO+ S△BGO+ S△CGO)
设AE=AF=X
BF=BG=(b-x)
CG=CD=(c-b-x)
ED=EG=(a-x)
S=Xr+(b-x)r+r(c-b-x)+ra-x)=r（a+c）
r=S/(a+c)