已知,PA=根号2,PB=4,以AB为一边做正方形ABCD,使P,D两点落在AB的同侧.1.如图,当角APB=45°时,求AB、PD的长.2.当角APB变化,其它条件不变时,求PD的最大值,及相应角APB的大小

Answer 1

（1）①作AE⊥PB于点E,
∵△APE中,∠APE=45°,PA=根号2,
∴AE=PE=根号2×根号2/2=1
∵PB=4,∴BE=PB-PE=3,
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,
∴AB=根号（AE2+BE2）=根号10
②因为四边形ABCD为正方形,可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB,
可得△PAD≌△P'AB,PD=P'B,PA=P'A．
∴∠PAP'=90°,∠APP'=45°,∠P'PB=90°
∴PP′=根号2 PA=2,
∴PD=P′B=根号（PP′2+PB2）=根号（2²+4²）=2根号5
（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB,PD的最大值即为P'B的最大值,
∵△P'PB中,P'B＜PP'+PB,PP′=根号2PA=2,PB=4,
且P、D两点落在直线AB的两侧,
∴当P'、P、B三点共线时,P'B取得最大值
此时P'B=PP'+PB=6,即P'B的最大值为6．
此时∠APB=180°-∠APP'=135度．