如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的高；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？

Question

如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱．

（1）试用x表示圆柱的高；
（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？

Answer 1

（1）设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图：BO=1，PO=3，圆柱的高为：h
由图得，(x)/(1)=(3-h)/(3)，即h=3-3x．
（2）S_圆柱侧=2πhx=2π（3-3x）x（5分）
=6π（x-x²），当x=(1)/(2)时，函数取得最大值为：(3)/(2)π．
∴当圆柱的底面半径为(1)/(2)时，它的侧面积最大为(3)/(2)π（10分） (x)/(1)x1xxx111=(3-h)/(3)3-h33-h3-h3-h333，即h=3-3x．
（2）S_圆柱侧圆柱侧=2πhx=2π（3-3x）x（5分）
=6π（x-x²2），当x=(1)/(2)时，函数取得最大值为：(3)/(2)π．
∴当圆柱的底面半径为(1)/(2)时，它的侧面积最大为(3)/(2)π（10分） (1)/(2)12111222时，函数取得最大值为：(3)/(2)π．
∴当圆柱的底面半径为(1)/(2)时，它的侧面积最大为(3)/(2)π（10分） (3)/(2)32333222π．
∴当圆柱的底面半径为(1)/(2)时，它的侧面积最大为(3)/(2)π（10分） (1)/(2)12111222时，它的侧面积最大为(3)/(2)π（10分） (3)/(2)32333222π（10分）