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“已知|z+3i|=1,求|z+4+5i|的最值.如题急等
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“已知|z+3i|=1,求|z+4+5i|的最值.
如题
急等
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答案和解析
|z+4+5i|=|(z+3i)+(4+2i)|≤|(z+3i)|+|(4+2i)|=1+2√5,所以|z+4+5i|有最大值1+2√5.
又|z+4+5i|=|(z+3i)+(4+2i)|≥||(z+3i)|-|(4+2i)|| =|1-2√5| =2√5-1,
所以|z+4+5i|有最小值2√5-1.
另外,用几何法可立得.
|z+3i|=1表示以C(0,-3)为圆心,r=1为半径的圆,|z+4+5i|则表示上述圆上的动点到定点A(-4,-5)的距离,其最大、最小值分别为|AC|+r=2√5+1和|AC| -r=2√5-1.
又|z+4+5i|=|(z+3i)+(4+2i)|≥||(z+3i)|-|(4+2i)|| =|1-2√5| =2√5-1,
所以|z+4+5i|有最小值2√5-1.
另外,用几何法可立得.
|z+3i|=1表示以C(0,-3)为圆心,r=1为半径的圆,|z+4+5i|则表示上述圆上的动点到定点A(-4,-5)的距离,其最大、最小值分别为|AC|+r=2√5+1和|AC| -r=2√5-1.
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