为什么"直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半"?其逆定理也成立吗?茫然地学着,究竟为什么呢?

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为什么"直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半"?其逆定理也成立吗?
茫然地学着,究竟为什么呢?

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答案和解析

很简单,设三角形ABC,C为直角,D为AB边中点
过D作DE垂直于AC,过D作DF垂直于BC
很容易证明三角形ADE全等于三角形DBF,所以DE=BF
同样容易证明DE=CF,从而CF=BF
再证明三角形DCF和三角形DBF全等即可
逆定理成立,设三角形ABC,CD为AB边中线,AD=BD=CD
由AD=CD可知角DAC=角DCA
由BD=CD可知角DBC=角DCB
又因为角ACB=角DCA+角DCB
所以角DAC+角DCA+角DBC+角DCB=180度
由角DAC=角DCA、角DBC=角DCB 可知角DCA+角DCB=90度
所以ABC是直角三角形

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