在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，b1−cosB=24，sinA+sinC=43．（1）求cosB；（2）求△ABC的面积的最大值．

Question

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，(b)/(1−cosB)=24，sinA+sinC=(4)/(3)．
（1）求cosB；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（1）(b)/(1−cosB)=24⇒(2×6sinB)/(1−cosB)=24
∴2（1-cosB）=sinB  （3分）
∴4（1-cosB）²=sin²B=（1-cosB）（1+cosB）
∵1-cosB≠0，
∴4（1-cosB）=1+cosB，
∴cosB=(3)/(5)，（6分）
（2）∵sinA+sinC=(4)/(3)，
∴(a)/(12)+(c)/(12)=(4)/(3)，即a+c=16．
又∵cosB=(3)/(5)，∴sinB=(4)/(5)．（8分）
∴S=(1)/(2)acsinB=(2)/(5)ac≤(2)/(5)((a+c)/(2))2=(128)/(5)．（10分）
当且仅当a=c=8时，S_max=(128)/(5)．（12分）