在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点．求证：PD丄QD．

Question

在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，P是AB上的点，过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点．求证：PD丄QD．

Answer 1

证明：如图，设AQ交CP于E点，连ED，EB，PQ，
∵AD为斜边BC上的高，AE⊥CP，
∴Rt△ACD ∽ Rt△BCA，Rt△ACE ∽ Rt△PCA，
∴AC 2 =CD?CB，AC 2 =CE?CP，
∴CD?CB=CE?CP，
∴△CDE ∽ △CPB，
∴∠CED=∠CBP，
∴B，D，E，P四点共圆，
∴∠1=∠5+∠6，∠5=∠4，
又∵BQ⊥AB，
∴∠QEP=∠PBQ=90°，
∴B，Q，E，P四点共圆，
∴∠1=∠2+∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠6，
∴D，Q，B，P四点共圆，
而∠PBQ=90°，
∴∠PDQ=90°，
即PD⊥DQ．