求微分方程（y-x3）dx-2xdy=0的通解．

Question

求微分方程（y-x³）dx-2xdy=0的通解．

Answer 1

（y-x³）dx-2xdy=0
①若x=0，或y=0，微分方程（y-x³）dx-2xdy=0恒成立；
②若x≠0，y≠0，则有：((y−x3)dx−2xdy)/(y3)＝0
(1)/(y2)dx−(2x)/(y3)dy−(x3)/(y3)dx＝0
d(x)/(y2)−(x3)/(y3)dx＝0
令u＝(x)/(y2)，则：
du−x(3)/(2)u(3)/(2)dx＝0
u−(3)/(2)du＝x(3)/(2)dx
−2u−(1)/(2)＝(2)/(5)x(5)/(2)+c，c为任意常数，
即−2yx−(1)/(2)＝(2)/(5)x(5)/(2)+c
y＝−(1)/(5)x3+Cx(1)/(2)，C为任意常数
综上所述，微分方程（y-x³）dx-2xdy=0的通解为y＝−(1)/(5)x3+Cx(1)/(2)，C为任意常数．