若1/2+x+y=1（x>0,y>0),且1/x+a/y≥8恒成立,则正实数a的最小值为?求详解

Question

若1/2+x+y=1（x>0,y>0),且1/x+a/y≥8恒成立,则正实数a的最小值为?求详解

Answer 1

1/2+x+y=1
x+y=1/2
2(x+y)=1
1/x+a/y>=8恒成立,即有(1/x+a/y)*2(x+y)>=8恒成立.
即有1+y/x+ax/y+a>=4
y/x+ax/y>=3-a
又y/x+ax/y>=2根号y/x*ax/y=2根号a
故有3-a<=2根号a
a+2根号a-3>=0
(根号a+3)(根号a-1)>=0
即有根号a-1>=0,(由于根号a+3>0)
即有:根号a>=1
a>=1
即最小值是:1