3t(3)-10t(2)+t-5=0（3）是立方（2）是平方

Question

3t(3)-10t(2)+t-5=0 （3）是立方 （2）是平方

Answer 1

令t=x-10/3,带入原式消去x^2项,化简得：x^3-91x/27-2945/729=0
构造x=u+v,显然x^3=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)=3uvx+u^3+v^3,即x^3-3uvx-(u^3+v^3)=0
对比两个一元三次方程,得：-3uv=-91/27,-(u^3+v^3)=-2945/729
变形得：(uv)^3=753571/531441,u^3+v^3=2945/729
令u^3和v^3分别是关于k的一元二次方程k^2-2945k/729+753571/531441=0的两个根,则求得：
u=(2945/1458+√69861/162)^(1/3),v=(2945/1458-√69861/162)^(1/3)
则关于x的一元三次方程的三个根分别为
x1=u+v
x2=(ω^2)u+ωv
x3=ωu+(ω^2)v (ω=-1/2+√3i/2)
最后由t=x-10/3带回t的三个根：
t1=u+v-10/3=(2945/1458+√69861/162)^(1/3)+(2945/1458-√69861/162)^(1/3)-10/3
t2=(ω^2)u+ωv-10/3=(-1/2-√3i/2)(2945/1458+√69861/162)^(1/3)+(-1/2+√3i/2)(2945/1458-√69861/162)^(1/3)-10/3
t3=ωu+(ω^2)v-10/3=(-1/2+√3i/2)(2945/1458+√69861/162)^(1/3)+(-1/2-√3i/2)(2945/1458-√69861/162)^(1/3)-10/3