在数l和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，再令an=lgTn，n≥1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=tanan•tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

在数l和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）数l和100之间插入n个实数，构成等比数列为{c_n}，则c₁=1，c_n+2=100，所以数列{c_n}是以1为首项的等比数列，Tn＝c1⋅c2⋅…⋅cn+2＝(c1⋅⋅cn+2)(n+2)/(2)＝100(n+2)/(2)＝10n+2，
所以a_n=lgT_n=n+2，n≥1．
（2）b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=1-tan（-n-2）•tan（n+3）-1
=(tan(n+3)+tan(−n−2))/(tan(n+3−n−2))−1=(1)/(tan1)[tan（n+3）-tan（n+2）]-1，
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=(1)/(tan1)[（tan4-tan3）+（tan5-tan4）+…+（tan（n+3）-tan（n+2）]-n
=(1)/(tan1)[tan（n+3）-tan3]-n．