设x∈R,yz∈N,y≥2x>≥2,f(x,y,z)=(1+x)^y+(1+x)^z证明：f(m,n,n)>f(n,m,m)(m、n∈N,且n＞m≥2

Question

设x∈R,yz∈N,y≥2 x>≥2,f(x,y,z)=(1+x)^y+(1+x)^z 证明：f(m,n,n)>f(n,m,m)(m、n∈N,且n＞m≥2

Answer 1

分析:
f(m,n,n)=(1+m)^n+(1+m)^n=2(1+m)^n
f(n,m,m)=(1+n)^m+(1+n)^m=2(1+n)^m
所以只须证明(1+m)^n>(1+n)^m即可
两边同时开mn次方有
(1+m)^(1/m)>(1+n)^(1/n)
因此只需要证明函数f(x)=(1+x)^(1/x)是减函数即可
而f(x)=(1+x)^(1/x)=e^ln[(1+x)^(1/x)=e^[1/x*ln(1+x)]
所以f'(x)=e^[1/x*ln(1+x)][1/x*1/(1+x)-1/x^2*ln(1+x)]=(1+x)^(1/x)/x[1/(1+x)-ln(1+x)/x]<0
因为(1+x)^(1/x)/x>0
所以只需证明1/(1+x)即证明x所以只需证明e^x而(1+x)^(1+x)>(1+x)^x若(1+x)^x>e^x即1+x>e则上面的不等式成立
而此时要求x>e-1
而题目有x≥2>e-1
所以得证
证明过程与上面的分析过程相反