如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M为AF的中点，求证：ME=12CF．

Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M为AF的中点，求证：ME=(1)/(2)CF．

Answer 1

证明：如图，延长EF到D，使DE=EF，连接AD、BD，
∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，
∴∠BFE=45°，BE⊥DF，
∴BE垂直平分DF，
∴∠BDE=45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=BF，∠DBF=90°，
∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°，
∴∠CBF=∠ABD，
在△ABD和△CBF中，

AB＝BC

∠CBF＝∠ABD

BD＝BF

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴AD=CF，
∵M为AF的中点，DE=EF，
∴ME是△ADF的中位线，
∴ME=(1)/(2)AD，
∴ME=(1)/(2)CF．