等差数列求证:在Rt三角形中,三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3：4：5.

Question

等差数列
求证:在Rt三角形中,三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比为3：4：5.

Answer 1

设Rt三角形短边为a,邻边为a+d,对边为a+2d
根据勾股定理：
a^2+(a+d)^2=(a+2d)^2
a^2=(a+2d+a+d)(a+2d-a-d) ----平方差
a^2=(2a+3d)d=2ad+3d^2 ----化简
a^2-d^2=2d(a+d) ----移向d^2
(a+d)(a-d)=2d(a+d) ----平方差
a-d=2d
a=3d
三边比=a:(a+d):(a+2d)=(3d):(4d):(5d)=3:4:5