证明a1sinx+a2sin3x+..ansin(2n-1)x=0在（0,拍/2）内至少有一实根其中a1/1+...an/(2n-1)=0麻烦说详细点用柯西中值定理

Question

证明a1sinx+a2sin 3x+..ansin(2n-1)x=0在（0,拍/2）内至少有一实根 其中a1/1+...an/(2n-1)=0
麻烦说详细点 用柯西中值定理

Answer 1

设f(x)=a1sinx+a2sin3x+...ansin(2n-1)x
F(x)=f(x)的积分
F(x)=-a1/1*cosx+...-an/(2n-1)*cos(2n-1)x
可知F(0)=F(拍/2)=0
利用中值定理
在区间（0,拍/2）内,存在一点使F(x)的导数为零,即f(x)=0得证.