等比数列{an}中，a1=cosx，x∈（0，π），公比q=sinx，若limn→+∞(a1+a2+…+an)＝3，则x=．

Question

等比数列{a_n}中，a₁=cosx，x∈（0，π），公比q=sinx，若

lim

n→+∞

(a1+a2+…+an)＝√(3)，则x=______．

Answer 1

因为数列{a_n}为等比数列
当sinx=1，cosx=0不符合等比数列的条件，故舍去
当sinx≠1时，由x∈（0，π）可得sinx∈（0，1）
由等比数列的前 n项和公式可得，
a1+a2+…+an＝(cosx(1−sinnx))/(1−sinx)
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)＝

lim

n→∞

(cosx(1−sinnx))/(1−sinx)=(cosx)/(1−sinx)＝√(3)
∴cosx+√(3)sinx＝√(3)      即 sin（x+(π)/(6)）=(√(3))/(2)
∵x∈（0，π）且sinx≠1∴x=(π)/(6)
故答案为：(π)/(6)