xyy'=y^2+x^2解微分方程

Question

xyy'=y^2+x^2
解微分方程

Answer 1

y'=y/x+x/y
令u=y/x y=ux y'=u+u'x
u+u'x=u+1/u
u'x=1/u
udu=dx/x
∫udu=∫dx/x
u^2/2=ln|x|+C
u^2=ln(x^2)+C
u=±√[ln(x^2)+C]
y/x=±√[ln(x^2)+C]
y=±x√[ln(x^2)+C]
其中C是任意常数