平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分,则圆锥侧面被截面分成上下两部分的面积之比为

Question

平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分,则圆锥侧面被截面分成上下两部分的面积之比为

Answer 1

设原来的圆锥的体积为V大,底半径为R,高为H,侧面积为S大,母线长为 L；设被截面分截后,上面小圆锥的体积为v小,底半径为r,高为h,侧面积为s小,母线长为 L小 .
因为 V大 / v小 =2 ,V大= π R² H /3 ,v小= π r² h /3 ,
所以 （π R ² H /3）/ （π r² h /3）= 2 ,即 R² H / r² h =2,
因为 R / r = H / h ,R² H / r² h =（R / r）^3 =2 ,
即　 R / r = 2 ^(1/3 )．
因为 S大= π RL ,s小= π r L小 ,
S大/ s小 = π RL / π r L小 =（ R / r ） * （L / L小）,
因为 L / L小 = R / r ,
即 S大/ s小 =（ R / r ）^2 = 2 ^(2/3 ) ＝4 ^(1/3 ) ,
圆锥侧面被截面分成上下两部分的面积分别为：s小 和 S大- s小 ,
因为 （S大- s小）/s小 = S大/ s小 - 1 = 4 ^(1/3 ) - 1= 0.5874 ．
故圆锥侧面被截面分成上下两部分的面积之比为：1 /（4 ^(1/3 ) - 1 ）=1.7024 ．