证明：设向量组a1a2a3.an线性相关,设向量组a1a2a3.an线性相关,且它的任意n-1个向量线性无关.证明向量组a1a2.an中任一向量都可由其余向量线性表出

Question

证明：设向量组a1a2a3.an线性相关,
设向量组a1a2a3.an线性相关,且它的任意n-1个向量线性无关.证明向量组a1a2.an中任一向量都可由其余向量线性表出

Answer 1

因为 a1,a2,...,an 线性相关
所以存在一组不全为零的数 k1,k2,...,kn 满足
k1a1+k2a2+...+knan=0
由于任意n-1个向量线性无关
所以k1,k2,...,kn都不等于0
(假如k1=0,则k2a2+...+knan=0
而a2,...,an 线性无关
故 k2=k3=...=kn=0
这与k1,k2,...,kn不全为零矛盾)
所以 任一向量都可由其余向量线性表出