一个数学分析题.设f(x)连续,当x→+∞时,limf(x+1)-f(x)=k(常数).证明：当x→+∞时,limf(x)/x=k.提示：对于只学过高等数学的人可有点难.多用分析中的ε工具.

Question

一个数学分析题.
设f(x)连续,当x→+∞时,lim f(x+1)-f(x)=k(常数).
证明：
当x→+∞时 ,lim f(x)/x = k.
提示：对于只学过高等数学的人可有点难.多用分析中的ε工具.

Answer 1

由中值定理知,存在ξ∈(x,x+1),使得
f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*[(x+1)-x]=f'(ξ)
当x→+∞时,x+1→+∞
由夹逼定理知
ξ→+∞
∴lim(x→+∞) [f(x+1)-f(x)]=lim(ξ→+∞) f'(ξ)=k
若lim(x→+∞)f(x)→∞,则lim(x→+∞) f(x)/x为∞/∞型,用L'Hospital法则
lim(x→+∞) f(x)/x
=lim(x→+∞) f'(x)
=k
若lim(x→+∞)f(x)=a不趋向于∞,则lim(x→+∞) f(x)/x=0
显然lim(x→+∞) [f(x+1)-f(x)]=a-a=0
即k=0
∴lim(x→+∞) f(x)/x=k=0
综上可知lim(x→+∞) f(x)/x=k成立