设函数f(x)=(1/2）^x,数列{an}满足a1=f(0),f(an+1)=1/f(-2-an)(n∈N+)拜托各位了3Q1.求an的表达式2.令bn=(1/2)^an,Sn=b1+b2+…+bn,Tn=1/a1a2+1/a2a3+…+1/an×an+1,使比较Sn与4/3Tn的大小,并加以证明

Question

设函数f(x)=(1/2）^x,数列{an}满足a1=f(0),f(an+1)=1/f(-2-an)(n∈N+)拜托各位了 3Q
1.求an的表达式 2.令bn=(1/2)^an,Sn=b1+b2+…+bn,Tn=1/a1a2+1/a2a3+…+1/an×an+1,使比较Sn与4/3Tn的大小,并加以证明

Answer 1

(1)a1=f(0)=(1/2)^1=1 ∵f(an+1)=1/f(-2-an) ∴1/2^an+1=(1/2)^(-2-an)=1/2^(2+an) ∴2^an+1=2^(2+an) ∴an+1=2+an ∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=1+2(n-1)=2n-1 (2).bn=1/2^an=1/2^(2n-1) ∴数列{bn}是以1/2首项,1/4为公比的等比数列,∴bn=1/2^(2n-1) ∴Sn=1/2*(1-1/4^n)/(1-1/4) =2/3*(1-1/4^n) Tn=1/1×3+1/3×5+…+1/an×an+1 =1/2*(1-1/3+1/3+1/5+……+1/an-1/an+1) =1/2*(1-1/an+1) =n 又∵Sn =2/3*(1-1/4^n) 4/3Tn=4n/3 Sn-Tn=2/3(1-1/4^n-2n) ∵(1-1/4^n-2n)＜0 ∴Sn-Tn＜0 所以Sn＜Tn