椭圆方程x^2/4+y^2/3=1,F为椭圆的左焦点,且P(x0,y0)是椭圆上的动点,过M(x0/4,0)作直线PF的垂线,垂足为N,当x0变化时,PN的长度是否为定值

Question

椭圆方程x^2/4+y^2/3=1,F为椭圆的左焦点,且P(x0,y0)是椭圆上的动点,过M(x0/4,0)作直线PF的垂线,垂足为N,
当x0变化时,PN的长度是否为定值

Answer 1

过P点作PQ⊥x轴于Q,|PF|=ex0+a=x0/2+2
①当点p在点F右边时,
由题意知△FNM∽△FQP
则有|FN|/|FQ|=|MF|/|PF| 即|FN|/(x0+1)=(x0/4+1)/(x0/2+2)=1/2
∴|PN|=|PF|-|PN|=(x0/2+2)-1/2(x0+1)=3/2
②当点P在点F正上方时,
点N与点F重合,此时 |PN|=|PF| =b² /a=3/2
③当点P在点F左边时, △FNM∽△FQP
则有|FN|/|FQ|=|MF|/|PF| 即|FN|/(-1-x0)=(x0/4+1)/(x0/2+2)=1/2
∴|PN|=|PF|+|PN|=(x0/2+2)+1/2(-1-x0)=3/2
综上所述,|PN|为定值3/2