一道数学的数列积偶问题a1=1,a2=2,当n为奇数时,an,an+1,an+2为等比数列,当n为偶数时,an,an+1,an+2成等差数列,求an的通项公式.各位朋友能不能再弄几个相似的题型呢?我急需了解这一方面的问题.回答

Question

一道数学的数列积偶问题
a1=1,a2=2,
当n为奇数时,an,an+1,an+2为等比数列,当n为偶数时,an,an+1,an+2成等差数列,求an 的通项公式.
各位朋友能不能再弄几个相似的题型呢?我急需了解这一方面的问题.回答的好我一定多加一些积分,真的.

Answer 1

按照题意可得数列为
1 2 4 6 9 12 16 20 25 30
规律如下：
将n为奇数（n=2k-1）的数列取出 得到 1 4 9 16 25
可作出假设a(2k-1)=k^2 ,k取>=1的整数……①
将n为偶数(n=2k)的数列取出 得到 2 6 12 20 30
可作出假设a(2k)=a(2k-2)+2k,k>=2,a2=2
用叠加法可以得出 a(2k)=(1+k)*k k取>=1的整数(K=1时候a2=2符合) ……②
因为当n=2k-1为奇数时,a(n+1)^2=an*a(n+2)
代入n=2k-1得到 a(2k)^2=a(2k-1)*a(2k+1)……③ （k>=1整数）
因为当n=2k为偶数时,2a(n+1)=an+a(n+2)
代入n=2k 得到 2a(2k+1)=a(2k)+a(2k+2) ……④ （k>=1整数）
根据假设①②两式 得知a(2k)^2=(1+k)^2*k^2
a(2k-1)*a(2k+1)=k^2*(k+1)^2 ,（k>=1整数）
将两等式代入③成立
根据假设①②两式 得到2a(2k+1)=2(k+1)^2
a(2k)+a(2k+2)=(1+k)*k+(1+k+1)*(k+1)=2(k+1)^2 ,（k>=1整数）
将两等式代入④成立
综上所述,①②两个假设都成立
即an的通式为
n为奇数（n=2k-1）时,a(2k-1)=k^2 ,k取>=1的整数
将n=2k-1代入即得 an=(n+1)^2/4 ,n为奇数
n为偶数(n=2k)时,a(2k)=(1+k)*k ,k取>=1的整数,
将n=2k代入 即得 an=(1+n/2)*n/2=(2n+n^2)/4 ,n为偶数