线怀代数证明题.设n阶矩阵B满足B^2=B,I为n阶单位矩阵,证明：1,若B不等于I,则B不可逆2,若A=I+B,则A可逆,且A^-1=1/2(3I-A).快考试了,求正确答案.

Question

线怀代数证明题.设n阶矩阵B满足B^2=B,I为n阶单位矩阵,证明：1,若B不等于I,则B不可逆
2,若A=I+B,则A可逆,且A^-1=1/2(3I-A).快考试了,求正确答案.

Answer 1

因为 B^2=B所以 B(B-I)=0所以 B-I 的列向量都是齐次线性方程组 Bx=0 的解若 B≠I, 则 B-I≠0则 Bx=0 有非零解所以 B 不可逆. 由 B^2-B=0得 B(B+I) -2(B+I) + 2I = 0所以 (B-2I)(B+I) = -2I所以 A=B+I 可逆且 A^-1 = ...