2：证明不等式x/(1+x)

Question

2：证明不等式x/(1+x)0.

Answer 1

设f(x)=ln(1+x)-x,
则f′(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x),
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,
所以f(x)所以ln(1+x)设g(x)=ln(1+x)-x/(1+x),
则g′(x)=1/(1+x)-1/(1+x)^2=x/(1+x)^2,
所以g(x)在(0,+∞)是增函数,
所以g(x)>g(0)=0,
所以ln(1+x)>x/(1+x).