已知数列{An}的前n项和Sn满足:n≥2时,An+3Sn*Sn-1=0,且A1=1/3,Sn≠0.求证：数列{1/Sn}为等差数列,并求其通向公式

Question

已知数列{An}的前n项和Sn满足:n≥2时,An+3Sn*Sn-1 =0,且A1=1/3,Sn≠0.求证：数列{1/Sn}为等差数列,并求其通向公式

Answer 1

证明：已知An+3Sn*Sn-1 =0
因为 An=Sn-Sn-1
所以（Sn-Sn-1）+3Sn*Sn-1 =0
即(Sn-Sn-1）/(Sn*Sn-1)=-3
对于 数列{1/Sn}
（1/Sn）-（1/Sn-1）=【(Sn-1）-Sn】/(Sn*Sn-1)=3 所以数列{1/Sn}是等差数列.
已知A1=1/3,所以数列{1/Sn}首项为1/S1=1/A1=3
所以数列{1/Sn}是首项为3,公差为3的等差数列
通项公式为 3+（n-1)×3=3n