定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{an}满足an+1=3an-2an-1（n≥2），a1=1，a2=3．（Ⅰ）求证：数列{an}是差等比

Question

定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差依次构成一个等比数列，则称这个数列为差等比数列，如果数列{a_n}满足a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2），a₁=1，a₂=3．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是差等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）S_n是数列{a_n}的前n项和，如果对任意的正整数n（n≥4），不等式S_n≤ka_n-9k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由a_n+1=3a_n-2a_n-1，得a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），
∵a₂-a₁=2≠0，
∴(an+1−an)/(an−an−1)＝2，
∴数列{a_n}是差等比数列；
（Ⅱ）∵数列{a_n+1-a_n}是等比数列，首项a₂-a₁=2，公比为2，
∴an+1−an＝2×2n−1＝2n．
则a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1．
∴an＝2n−1；
（Ⅲ）Sn＝(21−1)+(22−1)+…+(2n−1)
=(1+22+…+2n)−n＝(1−2n+1)/(1−2)−n
=2ⁿ⁺¹-2-n．
由S_n≤ka_n-9k，得2ⁿ⁺¹-2-n≤k（2ⁿ-10），
∵n≥4，
∴2ⁿ-10＞0，
则k≥(2n+1−2−n)/(2n−10)＝2+(18−n)/(2n−10)．
令g(n)＝2+(18−n)/(2n−10)，
知n≥4时，g(n)max＝g(4)＝(13)/(3)，
∴k≥(13)/(3)．