已知公比q》1的正项等比数列{an}若存在两项am、an,使根下am乘an=a3,则m分之1加n分之4的最小值

Question

已知公比q》1的正项等比数列{an}若存在两项am、an,使根下am乘an=a3,则m分之1加n分之4的最小值

Answer 1

数列为正项数列,首项a1>0
√(am·an)=a3
am·an=a3²
a1q^(m-1)·a1q^(n-1)=(a1q²)²
a1²q^(m+n-2)=a1²q^4
m+n-2=4
m+n=6
m=1 n=5 1/m+4/n=1+4/5=9/5
m=2 n=4 1/m+4/n=1/2 +4/4=3/2
m=3 n=3 1/m+4/n=1/3+4/3=5/3
m=4 n=2 1/m+4/n=1/4+4/2=9/4
m=5 n=1 1/m+4/n=1/5+4/1=21/5
m=2 n=4时,1/m +4/n有最小值3/2