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设函数f(x)在(0,﹢∞)内连续,证明∫f(2/x+x/2)·lnx/xdx=ln2·∫f(2/x+x/2)·1/xdx
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设函数f(x)在(0,﹢∞)内连续,证明∫f(2/x+x/2)·lnx/xdx=ln2·∫f(2/x+x/2)·1/xdx
▼优质解答
答案和解析
是不定积分?还是(0,﹢∞)上的积分?我想应该是后者
做变量代换：令4/x=t,则x=4/t,dx=-4/t^2dt,且t的变化是从+∞到0,此时2/x=t/2,x/2=2/t
左边＝-∫ f(t/2+2/t)*ln(4/t)*t/4 *4/t^2 dt 从+∞到0积分
=∫ f(t/2+2/t)*(ln4-lnt)/t dt 从0到+∞积分 交换积分上下限
=∫ f(x/2+2/x)*2ln2/x dx-∫ f(x/2+2/x)lnx/x dx 积分变量t换成x
即：∫f(2/x+x/2)·lnx/xdx=2ln2∫ f(x/2+2/x)/x dx-∫ f(x/2+2/x)lnx/x dx
将上式右边第二个积分移到等式左边与左边合并,然后将系数除去,就可得出结论.
做变量代换：令4/x=t,则x=4/t,dx=-4/t^2dt,且t的变化是从+∞到0,此时2/x=t/2,x/2=2/t
左边＝-∫ f(t/2+2/t)*ln(4/t)*t/4 *4/t^2 dt 从+∞到0积分
=∫ f(t/2+2/t)*(ln4-lnt)/t dt 从0到+∞积分 交换积分上下限
=∫ f(x/2+2/x)*2ln2/x dx-∫ f(x/2+2/x)lnx/x dx 积分变量t换成x
即：∫f(2/x+x/2)·lnx/xdx=2ln2∫ f(x/2+2/x)/x dx-∫ f(x/2+2/x)lnx/x dx
将上式右边第二个积分移到等式左边与左边合并,然后将系数除去,就可得出结论.
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