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已知一元二次方程:(1)mx2-4x+4=0;(2)x2-4mx+4m2-4m-5=0(m∈Z),求方程(1)和(2)的根都是整数的充要条件.

题目详情
已知一元二次方程:(1)mx2-4x+4=0;(2)x2-4mx+4m2-4m-5=0(m∈Z),求方程(1)和(2)的根都是整数的充要条件.
▼优质解答
答案和解析
方程(1)有实根⇔△1=16-16m≥0,即m≤1,且m≠0,
方程(2)有实根⇔△2=16m2-4(4m2−4m−5)≥0⇒m≥−
5
4
,且m≠0,
5
4
≤m≤1且m∈Z得m=−1,1.
当m=-1时,方程(1)为x2+4x-4=0,无整数解;
当m=1时,方程(1)有整数解x=2,方程(2)有整数解x=-1或5,
从而(1)、(2)都有整数解⇒m=1.
反过来,由m=1,可推得方程(1)、(2)都有整数解,
所以方程(1)、(2)都有整数解的充要条件是m=1.