选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|（1）解不等式f（x）＞2．（2）求函数y=f（x）的最小值．

Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|
（1）解不等式f（x）＞2．
（2）求函数y=f（x）的最小值．

Answer 1

函数f（x）=|2x+1|-|x-4|=

−x−5，x≤−(1)/(2)

3x−3，−(1)/(2)＜x＜4

x−5，x≥4

（1）令-x-5＞2，则x＜-7，∵x≤−(1)/(2)，∴x＜-7
令3x-3＞2，则x＞(5)/(3)，∵−(1)/(2)＜x＜4，∴(5)/(3)＜x＜4
令x-5＞2，则x＞7，∵x≥4，∴x＞7
∴f（x）＞2的解集为：{x|x＜-7或(5)/(3)＜x＜4或x＞7}
（2）当x≤−(1)/(2)时，-x-5≥−(9)/(2)
当−(1)/(2)＜x＜4时，−(9)/(2)＜3x-3＜9
当x≥4时，x-5≥-1
∴函数y=f（x）的最小值为−(9)/(2)．