已知函数f(x)=xe^xx属于R如果过点(a,b)可做曲线y=f(x)的三条切线.当-2

Question

已知函数f(x)=xe^x x属于R 如果过点(a,b)可做曲线y=f(x)的三条切线
.当-2

Answer 1

f'(x)=(1+x)e^x
设切点为(t,te^t)
切线为y=(1+t)e^t(x-t)+te^t=x(1+t)e^t-t^2e^t
代入(a,b),则b=a(1+t)e^t-t^2e^t,此方程有3个不同的解t.
记g(t)=a(1+t)e^t-t^2e^t-b
g'(t)=a[(2+t)e^t]-(2t+t^2)e^t=(a-t)(2+t)e^t
得t=a,-2,为极值点
g(-2)=-a/e^2-4/e^2-b=-(a+4)/e^2-b为极小值
g(a)=a(1+a)e^a-a^2e^a-b=ae^a-b为极大值
要使其有3个不同解,则g(-2)0
即b>-(a+4)/e^2,且b