已知：如图，Rt△ABC中，点D在斜边AB上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F．（1）求证：AD=AF；（2）若AC=3，BD=1，求CF的长．

Question

已知：如图，Rt△ABC中，点D在斜边AB上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接DE
并延长，与AC的延长线交于点F．

（1）求证：AD=AF；
（2）若AC=3，BD=1，求CF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵BC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥BC，即∠OEB=90°．
∴∠OEB=∠ACB=90°．
∴OE∥AC．
∴∠F=∠OED．
∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
∴∠F=∠ODE=∠ADF．
∴AD=AF；
（2）设⊙O的半径是r．
∵OE∥AC，
∴△OBE∽△ABC．
∴(OE)/(AC)＝(OB)/(AB)．
当AC=3，BD=1时
得 (r)/(3)＝(1+r)/(1+2r)．
解得，r=(1+√(7))/(2)．
∴AF=AD=2r=1+√(7)．
∴CF=AF-AC=1+√(7)-3=√(7)-2．