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如图1,在等边△ABC中,AD⊥BC于点D,一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F,连接EF.(1)判断EF与AC的位置关系(不必说明理由);(2)如图2,过E作BC的垂线,交圆于G,连接A
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如图1,在等边△ABC中,AD⊥BC于点D,一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F,连接EF.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752792-3942.jpg)
(1)判断EF与AC的位置关系(不必说明理由);
(2)如图2,过E作BC的垂线,交圆于G,连接AG,判断四边形ADEG的形状,并说明理由;
(3)求证:AC与GE的交点O为此圆的圆心.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752792-3942.jpg)
(1)判断EF与AC的位置关系(不必说明理由);
(2)如图2,过E作BC的垂线,交圆于G,连接AG,判断四边形ADEG的形状,并说明理由;
(3)求证:AC与GE的交点O为此圆的圆心.
▼优质解答
答案和解析
(1)EF∥AC;
(2)四边形ADEG为矩形;
理由:
∵EG⊥BC,E为切点,
∵BC为圆O的切线,
∴EG为直径,
∴EG=AD;
又∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴AD∥EG,
由EG=AD,AD∥EG,
得出四边形ADEG为平行四边形,
∵∠ADE=90°,
∴平行四边形ADEG为矩形;
(3)证明:连接FG,由(2)可知EG为直径,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752792-5757.jpg)
∴FG⊥EF;
又由(1)可知EF∥AC,
∴AC⊥FG;
又∵四边形ADEG为矩形,
∴EG⊥AG,
∴AG是已知圆的切线;
∵AF=AG,
∴AC是FG的垂直平分线,故AC必过圆心,(从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角,根据等腰三角形三线合一定理即可得出AC垂直平分FG)
∴圆心O就是AC与EG的交点.
(2)四边形ADEG为矩形;
理由:
∵EG⊥BC,E为切点,
∵BC为圆O的切线,
∴EG为直径,
∴EG=AD;
又∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴AD∥EG,
由EG=AD,AD∥EG,
得出四边形ADEG为平行四边形,
∵∠ADE=90°,
∴平行四边形ADEG为矩形;
(3)证明:连接FG,由(2)可知EG为直径,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752792-5757.jpg)
∴FG⊥EF;
又由(1)可知EF∥AC,
∴AC⊥FG;
又∵四边形ADEG为矩形,
∴EG⊥AG,
∴AG是已知圆的切线;
∵AF=AG,
∴AC是FG的垂直平分线,故AC必过圆心,(从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线,平分两条切线的夹角,根据等腰三角形三线合一定理即可得出AC垂直平分FG)
∴圆心O就是AC与EG的交点.
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