向量a=(2sinωx+cosωx,2sinωx-cosωx),向量b=(sinωx,cosωx),f(x)=a*b.具体怎么化啊!我怎么化不到?用哪些公式?答案是f(x)=3√2/2sin(2wx-π/4)+1/2......

Question

向量a=(2sinωx+cosωx,2sinωx-cosωx),向量b=(sinωx,cosωx),f(x)=a*b.
具体怎么化啊!我怎么化不到?用哪些公式?
答案是f(x)= 3√2/2sin(2wx-π/4)+1/2 ......

Answer 1

根据向量乘积的定义：
f(x)=(2sinωx+cosωx)*sinωx+(2sinωx-cosωx)*cosωx
=3sinωx*cosωx+2sin²ωx-cos²ωx
=3sin2ωx/2+3sin²ωx-1 //正弦倍角公式
=3sin2ωx/2+3[(1-cos2ωx)/2]-1 //余弦倍角公式
=3(sin2ωx-cos2ωx)/2 + 1/2
=3√2/2sin(2wx-π/4)+1/2 //最为关键的一步,见注释
注释
y=asinx+bcosx
=√(a²+b²)[sin(x+α)] 此时tanα=b/a