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y''+y'=y'yx=2时,y=x,y'=1/2,求通解
题目详情
y''+y'=y'y x=2时,y=x,y'=1/2,求通解
▼优质解答
答案和解析
令y'=p,
那么y"=dp/dx=dp/dy *dy/dx=p*dp/dy
所以原方程可以化为
p*dp/dy +p=py
即dp =(y-1)*dy
等式两边积分得到p=y'=0.5y^2 -y+C (C为常数)
x=y=2时,y'=1/2
即1/2=0.5*2^2 -2+C解得C=0.5
所以
y'=0.5y^2 -y +0.5=0.5(y-1)^2
故
2dy/(y-1)^2=dx
两边积分得到
-2/(y-1)=x +C
而x=y=2
代入得到C= -4
所以方程的通解为
-2/(y-1)=x -4
即(x-4)(y-1)+2=0
那么y"=dp/dx=dp/dy *dy/dx=p*dp/dy
所以原方程可以化为
p*dp/dy +p=py
即dp =(y-1)*dy
等式两边积分得到p=y'=0.5y^2 -y+C (C为常数)
x=y=2时,y'=1/2
即1/2=0.5*2^2 -2+C解得C=0.5
所以
y'=0.5y^2 -y +0.5=0.5(y-1)^2
故
2dy/(y-1)^2=dx
两边积分得到
-2/(y-1)=x +C
而x=y=2
代入得到C= -4
所以方程的通解为
-2/(y-1)=x -4
即(x-4)(y-1)+2=0
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