关于与椭圆的交点的直线问题已知椭圆C的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),设斜率为K的直线l交椭圆C于A、B两点,AB中点为M,证明当直线l平行移动的时候,动点M在一条过原点的直线上

Question

关于与椭圆的交点的直线问题
已知椭圆C的方程是x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),设斜率为K的直线l交椭圆C于A、B两点,AB中点为M,证明当直线l平行移动的时候,动点M在一条过原点的直线上

Answer 1

设L的方程是：y=kx+p,A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).
联立y=kx+p与x^2/a^2+y^2/b^2=1消去y,并整理得：
(b^2+a^2*k^2)x^2+2a^2*pkx+(a^2*p^2-a^2*b^2)=0.
根据韦达定理,有x1+x2=-2a^2*pk/(b^2+a^2*k^2).
从而中点M的横坐标x0=(x1+x2)/2=-a^2*pk/(b^2+a^2*k^2)；
纵坐标y0=kx0+p=pb^2/(b^2+a^2*k^2).
所以y0=-b^2/(a^2*k)*x0,即M在过原点的直线y=-b^2/(a^2*k)*x上.