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过P(1,1),且分别与直线l1:4x-3y-1=0,l2:4x-3y+4=o相切的圆的方程为?
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过P(1,1),且分别与直线l1:4x-3y-1=0,l2:4x-3y+4=o相切的圆的方程为?
▼优质解答
答案和解析
设圆心坐标为(a,b)半径为r,则圆的标准方程可设为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
Ax+By+C1=0;Ax+By+C2=0两平行直线间距离公式d=|C1-C2|/√(A^2+B^2),
因为直线l1:4x-3y-1=0,l2:4x-3y+4=0斜率相等,所以平行,又都与圆相切,说明d=2r=|-1-4|/√(4^2+3^2)=1 所以r=1/2
此外圆心到直线l1的距离等于圆心到l2的距离,即|4a-3b-1|/√(4^2+3^2)=|4a-3b+4|/√(4^2+3^2)=1/2,即|4a-3b-1|=|4a-3b+4|也就是4a-3b-1=-(4a-3b+4)可得b=4a/3+1/2.
由于该圆过点p(1,1),代入得(1-a)^2+(1-b)^2=1/4同时又有b=4a/3+1/2最后可得a=3/5,则b=13/10.
所以圆的方程为(x-3/5)^2+(y-13/10)^2=1/4.
Ax+By+C1=0;Ax+By+C2=0两平行直线间距离公式d=|C1-C2|/√(A^2+B^2),
因为直线l1:4x-3y-1=0,l2:4x-3y+4=0斜率相等,所以平行,又都与圆相切,说明d=2r=|-1-4|/√(4^2+3^2)=1 所以r=1/2
此外圆心到直线l1的距离等于圆心到l2的距离,即|4a-3b-1|/√(4^2+3^2)=|4a-3b+4|/√(4^2+3^2)=1/2,即|4a-3b-1|=|4a-3b+4|也就是4a-3b-1=-(4a-3b+4)可得b=4a/3+1/2.
由于该圆过点p(1,1),代入得(1-a)^2+(1-b)^2=1/4同时又有b=4a/3+1/2最后可得a=3/5,则b=13/10.
所以圆的方程为(x-3/5)^2+(y-13/10)^2=1/4.
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