三角函数高三如何利用sin(α+β)sin(α-β)=sin²α-sin²β来证明4sinx·sin(60º-x)·sin(60º+x)=sin3x

Question

三角函数 高三
如何利用sin(α+β)sin(α-β)=sin²α-sin²β来证明4sinx·sin(60º-x)·sin(60º+x)=sin3x

Answer 1

sin(α+β)sin(α-β)=sin²α-sin²β α=60º β=x 得
sin(60º-x)·sin(60º+x)=sin²(60º)-sin²(x)=3/4-sin²(x)
因此 4sinx·sin(60º-x)·sin(60º+x)=4sinx(3/4-sin²(x))=3sinx-4sin3(x)
sin3x=sin(x+2x)=sinxcos(2x)+cosxsin2x=sinx(1-2sin²x)+cosx*2sinx*cosx
=sinx(1-2sin²x)+2sinx*(1-sin²x)
=3sinx-4sin3(x)
因此4sinx·sin(60º-x)·sin(60º+x)=sin3x