若φ（x）,g（x）都是奇函数,f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋2在（0,＋∞）上有最大值5,则f（x）在（－∞,0）有最?

Question

若φ（x）,g（x）都是奇函数,f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋2在（0,＋∞）上有最大值5,则f（x）在（－∞,0）有最?

Answer 1

因为f(x)=aφ(x)+bg(x)+2,所以f(x)-2=aφ(x)+bg(x)
令h(x)=f(x)-2=aφ(x)+bg(x),
那么h(-x)=aφ(-x)+bg(-x)=-[aφ(x)+bg(x)]=-h(x)
所以h(x)也是奇函数
而由题知函数h(x)在(0,+∞)上有最大值h(x)max=f(x)max-2=3
那么h(x)在(-∞,0)上有最小值,且h(x)min=-h(x)max=-3 (奇函数的性质)
即h(x)=f(x)-2在(-∞,0)上有最小值,且f(x)min-2=h(x)min=-3
那么f(x)min=-1