已知定义在区间[-1，1]上的函数f(x)＝2x+bx2+1为奇函数．（1）求实数b的值．（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并证明你的结论．（3）f（x）在x∈[m，n]上的值域为[m，n]（-1≤m＜

Question

已知定义在区间[-1，1]上的函数f(x)＝(2x+b)/(x2+1)为奇函数．
（1）求实数b的值．
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并证明你的结论．
（3）f（x）在x∈[m，n]上的值域为[m，n]（-1≤m＜n≤1 ），求m+n的值．

Answer 1

（1）∵定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=(2x+b)/(x2+1)为奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，…（2分）
检验：当b=0时，f（x）=(2x)/(x2+1)为奇函数，…（3分）
∴b=0．
（2）函数f（x）=(2x)/(x2+1)在区间（-1，1）上是增函数…（4分）
证明：∵f（x）=(2x)/(x2+1)，
∴f′（x）=(2(x2+1)−2x•2x)/((x2+1)2)
=(2(1−x2))/((x2+1)2)，…（6分）
∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＞0，…（7分）
∴函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数 …（8分）
（3）由（2）知函数f（x）在区间[m，n]上是增函数，函数f（x）的值域为[f（m），f（n）]
∴

f(m)＝m

f(n)＝n

即

(2m)/(m2+1)＝m①

(2n)/(n2+1)＝n②

…（9分）
由①得m=-1 或 0或1，
由②得n=-1 或 0或1…（11分）
又∵-1≤m＜n≤1
∴m=-1，n=0；或m=-1，n=1；或m=0，n=1…（12）
∴m+n=-1；或m+n=0；或m+n=1…（13）