关于Lagrange中值定理的一点疑问f(t)=t^2*sin(1/t)[t不等于0]0[t=0],在[0,x]上用Lagrange中值定理,得x^2*sin(1/x)=x(2ξsin(1/ξ)-cos(1/ξ))(0

Question

关于Lagrange中值定理的一点疑问
f(t)=t^2*sin(1/t)[t不等于0] 0[t=0],在[0,x]上用Lagrange中值定理,得x^2*sin(1/x)=x(2ξsin(1/ξ)-cos(1/ξ)) (0

Answer 1

于是lim(x趋向0+)cos（1/ξ）=0
但不能推出lim(ξ趋向0+)cos（1/ξ）=0
你这两句话中的ξ是不同的
在前一句“lim(x趋向0+)cos（1/ξ）=0”ξ是作为一个定值存在的,一个常,Lagrange中值定理中说的是存在一个ξ使得.,所以cos（1/ξ）是一个数值,不是变量
"但不能推出lim(ξ趋向0+)cos（1/ξ）=0"这一句中你把ξ当成了一个可变量,也就是说ξ是变化的,所以这个lim(ξ趋向0+)cos（1/ξ）极限由于摆而不存在