如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=34．（1）求AB的值；（2）求sin（2A+C）的值．

Question

如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=(3)/(4)．

（1）求AB的值；
（2）求sin（2A+C）的值．

Answer 1

（1）由余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cosC=4+1-2×2×1×(3)/(4)=2．
那么，AB=√(2)
（2） 由cosC=(3)/(4)，且0＜C＜π，
得sinC=√(1-cos2C)=(√(7))/(4)．由正弦定理，(AB)/(sinC)=(BC)/(sinA)，
解得sinA=(BCsinC)/(AB)=(√(14))/(8)．
所以，cosA=(5√(2))/(8)．
由倍角公式sin2A=2sinA•cosA=(5√(7))/(16)，
且cos2A=1-2sin2A=(9)/(16)，
故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=(3√(7))/(8)．