微分变换、对角矩阵在Fn[x]中（n>1）,求微分变换T的特征多项式.求证T在任何一组基下的矩阵都不是对角矩阵.

Question

微分变换、对角矩阵
在Fn[x]中（n>1）,求微分变换T的特征多项式.
求证T在任何一组基下的矩阵都不是对角矩阵.

Answer 1

取Fn[x]的一组基 1,x,x^...,x^n-1
则 T关于该基的矩阵为
T=
0 1 0 0 ...0 0
0 0 2 0...0 0
0 0 0 3 ...0 0
.
0 0 0 0 ...0 n-1
0 0 0 0 ..0 0
故特征多项式为|λE-T|= λ^n
其所有的特征值都为0
λ=0时,方程组(λE-T)X=O
即 TX=O
因为R(T)=n-1
故其基础解系中只有一个解向量
即特征子空间的维数=1,小于Fn[x]的维数,
故T在任何一组基下的矩阵都不是对角矩阵.