椭圆Mx^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)左右焦点F1(-c,0)F2（c,0）P是椭圆上任意一点且向量PF1*向量PF2最大值的取值范围是c^2,3c^2其中c=根号下a^2-b^2则椭圆的离心率的取值范围是?

Question

椭圆M x^2/a^2+y^2/b^2=1(a大于b大于0)左右焦点F1(-c,0)F2（c,0）P是椭圆上任意一点且向量PF1*向量PF2最大值的取值范围是【c^2,3c^2】其中c=根号下a^2-b^2 则椭圆的离心率的取值范围是?

Answer 1

最大值
P(acosθ,bsinθ)
向量PF1 = (-c - acosθ,-bsinθ),向量PF2 = (c - acosθ,-bsinθ)
点乘得f(θ) = (-c - acosθ)(c - acosθ) + b²sin²θ
= a²cos²θ - c² + b²sin²θ
= (b² + c²)cos²θ - c² + b²sin²θ = b²(sin²θ + cos²θ) + c²(cos²θ - 1)
= b² + c²[(cos2θ + 1)/2 - 1]
= b² - c²/2 + (c²/2)cos2θ
最大值:f(0) = b²
c² ≤ b² ≤ 3c²
-3c² ≤ -b² ≤ -c²
a² -3c² ≤ a² -b² ≤ a²-c²
a² -3c² ≤ c² ≤ a²-c²
除以a²:1 - 3e² ≤ e² ≤ 1- e²
1/4 ≤ e² ≤ 1/2
1/2 ≤ e ≤ √2/2