求关于曲线动圆的圆心轨迹方程及其他问题已知动圆G过F《二分之三,0》,且直线L：X=负二分之三相切,动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E上的两个动点A和B.求曲线E的方程、已知向量OA乘以响亮OB=

Question

求关于曲线动圆的圆心轨迹方程及其他问题
已知动圆G过F《二分之三,0》,且直线L：X=负二分之三相切,动圆圆心G的轨迹为曲线E.曲线E上的两个动点A和B. <1>求曲线E的方程、 <2>已知向量OA乘以响亮OB=—9《O为坐标远点》,探究直线AB是否恒过定点,若过定点,求出定点坐标；若不过,说明；理由 <3>一直线段AB的垂直平分线叫x轴于点C,其中X1不等于X2且X1+X2=4.求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

1、由抛物线定义知,曲线E为开口向右的抛物线,其方程为 y=6x 2、令 A (y1/6,y1) B (y2/6,y2) 则(y1y2)/36+y1y2=-9,解得：y1y2=-18 由点差法求得：Kab=6/(y1+y2)=6y1/(y1-18) 既而求得直线AB的方程：y=6y1x/(y1-18)-18y1/(y1-18) 整理得：y(y1-18)=(6x-18)y1,易知 当x=3,y=0 时,等式恒成立 故,直线AB过定点(3,0) 3、令线段AB的中点为 M(2,y0) 其中y0≠0 则由点差法求得 Kab=3/y0,Lab:y=3x/y0-6/y0+y0 与X轴的交点坐标为(2-y0/3) 则AB中垂线的斜率为 k=-y0/3 又该中垂线过点M,其方程为：y=-y0x/3+5y0/3,点C坐标为(5,0) 不妨先求出|x1-x2|的值：|x1-x2|=|x1+x2|-4x1x2=16-4x1x2,x1x2=(y1y2)/36 ① |y1+y2|=4y0=(y1+y2)+2y1y2,y1y2=2(y0-6) ② 将②代入①得：x1x2=(y0-6)/9 S△=1/2|MC||AB| = [(y0+9)√(12-y0)]/3 又y0=(y1+y2)/4=6+3√(x1x2),√(x1x2)∈[0,2),y0∈[6,12) 故S△(max)=5√6 (当y0=6时取得最大值)