过双曲线2x^2-y^2=16的右焦点作它的一条渐近线l1的垂线,过双曲线2x^2-y^2=16的右焦点作它的一条渐近线l的垂线,交l于A,交另一条渐近线于点B,求证：线段AB被双曲线的左准线平分

Question

过双曲线2x^2-y^2=16的右焦点作它的一条渐近线l1的垂线,
过双曲线2x^2-y^2=16的右焦点作它的一条渐近线l 的垂线,交l 于A,交另一条渐近线于点B,求证：线段AB被双曲线的左准线平分

Answer 1

渐近线方程：y=±√2x
右焦点：F2(2√6,0)
过F2与渐近线y=√2x垂直的直线是：x+√2y-2√6=0,交点A坐标为：（2√6/3,4√3/3）
与渐近线y=-√2x的交点B坐标为：（-2√6,4√3）
所以,AB中点横坐标=（2√6/3-2√6)/2=-2√6/3
而左准线方程为：x=-a^2/c=-8/2√6=-2√6/3
所以,
线段AB被双曲线的左准线平分