一道简单的的证明函数可测,f（x）为定义在[0,1]上的函数,若x为有理数,则f(x)=x,若x为无理数呢f(x)=1-x,求证f（x）为可测函数,

Question

一道简单的的证明函数可测,
f（x）为定义在[0,1]上的函数,若x为有理数,则f(x)=x,若x为无理数呢f(x)=1-x,求证f（x）为可测函数,

Answer 1

有理数集是可数的,所以是零测集
无理数集是有理数集在R上的补集,所以也是可测的
当α>1时,E(f>α)=空集,可测
当0α)={x|x为(α,1]中的有理数}并{x|x[0,1-α)中的无理数}
这两个都是可测集的子集,所以他们的并集也可测
当α≤0时,E(f>α)=[0,1]是可测集
因此f(x)是L可测函数