连续和偏导数存在的问题为什么连续能够推出偏导数存在,而偏导数存在推不出连续如果能够举个例子的话那更好

Question

连续和偏导数存在的问题
为什么连续能够推出偏导数存在,而偏导数存在推不出连续
【如果能够举个例子的话那更好

Answer 1

举个例子就应该明白了.
分段函数 f(x,y)=xy/(x^2+y^2) , (x,y)≠(0,0); f(x,y)=0, (x,y)=(0,0).
用定义法求得 f'(0,0)=0, f'(0,0)=0.
当 f(x,y) 沿直线 y=kx 趋于 (0,0) 时,有
limf(x,y)=k/(1+k^2), 其值与k有关,
则极限 limf(x,y) 不存在,即函数 f(x,y) 不连续.