高级高数,integratey=(（e^2x）+4)^0.5,求y的积分怎么没有统一的答案

Question

高级高数,integrate y=(（e^2x）+4)^0.5 , 求y的积分
怎么没有统一的答案

Answer 1

t = [e^(2x)+4]^(0.5)>2, e^(2x)=t^2-4.
dt = 0.5[e^(2x)+4]^(-0.5)*e^(2x)*2dx = e^(2x)dx/t = (t^2-4)dx/t,
dx = tdt/(t^2-4).
S (（e^2x）+4)^0.5dx = S t*tdt/(t^2-4) = S t^2dt/(t^2-4) = S [1 + 4/(t^2-4)]dt = t + 4*S dt/(t^2-4) = t + S [1/(t-2)-1/(t+2)]dt
= t + ln(t-2) - ln(t+2) + C
= [e^(2x)+4]^(0.5) + ln{[e^(2x)+4]^(0.5)-2} - ln{[e^(2x)+4]^(0.5)+2} + C.
C = const.
【检验一哈】
{[e^(2x)+4]^(0.5) + ln{[e^(2x)+4]^(0.5)-2} - ln{[e^(2x)+4]^(0.5)+2} + C. }'
= 0.5[e^(2x)+4]^(-0.5)*e^(2x)*2 + 1/{[e^(2x)+4]^(0.5)-2}*0.5[e^(2x)+4]^(-0.5)*e^(2x)*2 - 1/{[e^(2x)+4]^(0.5)+2}*0.5[e^(2x)+4]^(-0.5)*e^(2x)*2
= e^(2x)[e^(2x)+4]^(-0.5){1 + 1/{[e^(2x)+4]^(0.5)-2} - 1/{[e^(2x)+4]^(0.5)+2}}
= e^(2x)[e^(2x)+4]^(-0.5){e^(2x)+4 - 4 + {[e^(2x)+4]^(0.5)+2} - {[e^(2x)+4]^(0.5)-2}}/{{[e^(2x)+4]^(0.5)-2}{[e^(2x)+4]^(0.5)+2}}
= e^(2x)[e^(2x)+4]^(-0.5){e^(2x) + 4}/{[e^(2x)+4]-4}
= e^(2x)[e^(2x)+4]^(0.5)/e^(2x)
= [e^(2x)+4]^(0.5)
= y.